測地線とは、曲がった空間（多様体）において2点間を結ぶ最短経路となる曲線のことです。機械学習の分野、特に多様体学習や深層学習の潜在空間、情報幾何学において、データの真の構造を捉えるための重要な概念として応用されています。ユークリッド空間における直線概念を一般化したものです。
測地線とは
測地線（そくちせん）とは、平らではない曲がった空間（多様体）において、ある2つの点を結ぶ「最も短い道のり」となる曲線のことです。平らな空間における「直線」に相当する概念であり、データが非線形な構造を持つ場合に、データ間の真の距離や変化の経路を定義するために用いられます。
詳しく解説
機械学習やデータ分析において、高次元データはしばしばより次元の低い多様体と呼ばれる曲がった空間上に分布していると仮定されます。このとき、通常のユークリッド距離でデータ間の距離を測ると、データの本来の性質を無視した不正確な評価になってしまいます。そこで、データが分布する多様体に沿った最短経路である測地線を算出することで、データの真の類似性や関係性を捉えることができます。例えば、情報幾何学においては、確率分布の空間を多様体とみなし、フィッシャー情報計量を用いて定義される測地線に沿って分布の距離を測定します。また、ニューラルネットワークのパラメータ空間や潜在空間における最適化経路の解析にも利用されます。
具体例・使われ方
代表的な利用例として、多様体学習アルゴリズムの一種であるIsomapが挙げられます。Isomapでは、隣接グラフ上の最短経路問題を解くことで測地線距離の近似値を計算し、高次元の非線形データを低次元に埋め込みます。また、生成対向ネットワークや変分オートエンコーダーなどの生成モデルにおいて、学習済みの潜在空間における2つのデータ点を結ぶ測地線に沿って補間を行うことで、不自然なジャンプのない、滑らかで自然な画像のモーフィングを実現することができます。
似た用語との違い
直線（ユークリッド直線）との違いは、考える空間が「平らか」か「曲がっているか」にあります。直線は平らな空間での最短経路ですが、地球の表面（球面）のように曲がった空間では、2点間を地表に沿って結ぶ大圏航路が最短経路となり、これが測地線にあたります。地球の内部を突き抜ける直線は、地表という多様体の上を通っていないため、その空間内での距離としては定義できません。
注意点
測地線は、空間の曲がり具合を定義するリーマン計量が定まっていなければ一意に計算できません。ディープラーニングの潜在空間では、計量が複雑で解析的に測地線を求めることが極めて困難な場合が多く、計算量が高くなるため、多くの場合で数値的な近似手法が必要となります。また、データの密度が極端に低い領域では、定義された測地線がデータの本来の分布から外れてしまい、不自然な経路をたどることがあります。