数値積分とは、数式を手計算で解くことが困難な関数の積分値を、コンピュータを用いて近似的に計算する手法です。機械学習や物理シミュレーションにおいて、複雑な確率分布の期待値計算や微分方程式の解析的求解が難しい場面で幅広く活用されています。
数値積分とは
数値積分は、解析的に解けない積分をコンピュータを用いて数値的に近似計算する手法です。
詳しく解説
数学における積分は、関数の曲線下の面積や累積量を求める操作ですが、複雑な関数では厳密解（解析解）を求めることが困難です。数値積分では、区間を細かく分割して台形などの多角形の面積の総和として近似する求積法や、乱数を利用して積分値を推定するモンテカルロ法などが用いられます。AIや機械学習の領域では、事後分布の計算を行うベイズ推定や、時間発展を伴う確率過程のモデル化、微分方程式を学習に組み込む物理情報ニューラルネットワーク（PINN）などの計算基盤として極めて重要な役割を果たしています。
具体例・使われ方
例えば、ベイズ推定において複雑な多次元パラメータ空間での期待値を推定する際に、マルコフ連鎖モンテカルロ法を用いた数値積分が行われます。また、自動運転やロボット制御においてセンサーデータの蓄積から位置を推定するオドメトリ計算や、物理現象を学習するAIモデルでの連続時間ダイナミクスのシミュレーションなどにも広く応用されています。
似た用語との違い
数式変形によって厳密な解（数式）を導き出す「解析的積分（記号積分）」とは異なり、数値積分はコンピュータで離散的な数値として近似解を求めます。また、関数の変化率を計算する「数値微分」とは逆の操作にあたります。
注意点
数値積分は常に近似計算であるため、分割幅の粗さやサンプリング数に起因する打ち切り誤差や丸め誤差が含まれます。さらに、高次元空間での積分では計算量が指数関数的に増大する「次元の呪い」が生じやすいため、問題に応じた適切なアルゴリズムの選定が必要です。