線形システムとは、入力と出力の関係が「重ね合わせの原理」（加法性と斉次性）を満たすシステムの総称です。機械学習や制御理論、信号処理などの基盤となる数理モデルであり、予測や最適化の計算を効率的に行える特徴があります。現実の複雑な非線形現象を近似的に解析する際にも極めて重要な役割を果たします。
線形システムとは
入力に対して出力が比例し、複数の入力を足し合わせたときに出力も足し合わされるという「重ね合わせの原理」に従う、数式や動的プロセスのことです。
詳しく解説
線形システムは、加法性（入力を足し合わせたものの出力は、それぞれの出力の和に等しい）と斉次性（入力を定数倍すると、出力も同じ定数倍になる）という2つの性質を満たします。これらを合わせて重ね合わせの原理と呼びます。深層学習などのAI技術は一般的に複雑な非線形システムを扱いますが、そのモデルを訓練したり解析したりする最適化アルゴリズムや、高次元データを処理する次元削減（主成分分析など）の背後では、線形システムの代数計算が常に走っています。線形システムは数式として厳密な解を求めやすく、大規模な計算でも処理時間が予測しやすいという大きなメリットがあります。そのため、多くの機械学習のアルゴリズム（例えば線形回帰など）の基本設計として深く組み込まれています。
具体例・使われ方
具体的な利用例としては、音響や画像の信号処理、物理演算シミュレーション、ロボットの制御工学が挙げられます。また、統計学や機械学習における最も基礎的な予測モデルである線形回帰も、入力の特徴量の重み付き線形結合として予測値を出力するため、典型的な線形システムの一種です。
似た用語との違い
混同されやすい概念として「非線形システム」があります。非線形システムは重ね合わせの原理が成り立たない複雑なシステムを指します。例えば、人間の脳を模した深層学習（ディープラーニング）モデルでは、ニューロンの出力に活性化関数を導入することでシステム全体を非線形化し、線形システムでは対応できない複雑なパターン認識やデータ間の複雑な境界線を学習できるようにしています。
注意点
線形システムは数学的に扱いやすい一方で、現実世界の多くの現象は本質的に非線形システムです。そのため、複雑な現実世界を単純な線形モデルとして近似する場合、予測できる範囲や精度には限界があります。この限界や近似誤差を無視してモデルを適用すると、予測や制御が著しく破綻する可能性があるため注意が必要です。