固有ベクトルとは、行列による線形変換を行っても向きが変わらず、長さの伸縮のみが起こる特別なベクトルのことです。機械学習やデータ分析では、高次元データの重要な特徴方向を抽出する主成分分析や次元削減の基礎数学として幅広く活用されています。固有ベクトルを理解することで、データの分散やパターンを効率的に捉えることが可能になります。
固有ベクトルとは
固有ベクトルとは、行列で表される線形変換を適用した際に、変換後も方向が変化せず、スカラ倍（定数倍）されるだけの特別なベクトルのことです。
詳しく解説
線形代数において、正方行列Aとベクトルvに対し、Av = λv（λは定数）を満たす非ゼロベクトルvを固有ベクトル、定数λを固有値と呼びます。機械学習の分野では、多次元データを解析する際にデータ全体のばらつき（分散）が最も大きくなる方向を特定するために用いられます。例えば、共分散行列の固有ベクトルを求めることで、データの情報をできるだけ損なわずに低次元へ要約することが可能になります。画像認識や自然言語処理におけるデータの前処理や特徴抽出に不可欠な基礎理論です。
具体例・使われ方
代表的な利用例として、主成分分析による次元削減があります。高次元データから共分散行列を作成し、その固有ベクトルを算出することで、第1主成分や第2主成分といったデータの情報量を最も多く保持する新たな軸（方向）を発見できます。また、Webページの重要度を測定するPageRankアルゴリズムや、顔画像から特徴量を抽出する固有顔（Eigenfaces）技術などにも応用されています。
似た用語との違い
固有値との違いは、固有値が変換による「拡大・縮小の倍率（スカラー値）」を表すのに対し、固有ベクトルはその「方向（ベクトル）」を表す点です。また、特異値分解で用いられる特異ベクトルは正方行列に限らない一般的な行列に対して定義されるものであり、正方行列に対する固有ベクトルとは適用できる行列の対象範囲が異なります。
注意点
固有ベクトルは正方行列に対してのみ定義されるため、行数と列数が異なる長方形の行列には直接適用できません。また、固有ベクトルが示すのは直線的な「線形変換」における重要な方向であり、複雑な非線形関係を持つデータの構造を単独で完全に捉えられない場合があります。さらに、固有ベクトルの向き自体は符号が反転しても同じ空間を表すため、一意に定まらない点にも注意が必要です。