正則行列とは、逆行列が存在する正方行列のことです。行列式がゼロでない行列としても定義され、線形代数や機械学習の基礎理論において重要な役割を果たします。線形方程式が一意の解を持つ条件や特徴量変換の可逆性を保証し、重回帰分析や最適化アルゴリズムなど幅広い分野で利用されます。
正則行列とは
正則行列とは、一言でいうと「逆変換を行う行列（逆行列）が存在する正方行列」です。
詳しく解説
正則行列は、可逆行列や非特異行列とも呼ばれ、元の行列にかけると単位行列になる逆行列を必ず持ちます。数学的には、行列式がゼロでないことや、すべての固有値がゼロでないこと、列ベクトルが互いに線形独立であることなどが正則行列であるための必要十分条件です。機械学習や深層学習のアルゴリズムでは線形代数の基礎概念として不可欠であり、パラメータの最適解を求める計算やデータ空間の可逆変換を保証する基盤として機能します。
具体例・使われ方
正則行列は、最小二乗法に基づく重回帰分析のパラメータ推定で広く利用されます。特徴量から作られる行列が正則行列であれば、正規方程式を解いて最適な重みを一意に決定できます。また、主成分分析（PCA）後の白色化処理や、ロボティクス・コンピュータビジョンにおける座標系の幾何変換など、施した変換を情報欠落なしに元の状態へ復元したい場面でも活用されます。
似た用語との違い
正則行列と対比される概念に「特異行列」があります。特異行列は行列式がゼロであり、逆行列が存在しない行列を指します。機械学習において入力特徴量間に強い相関（多重共線性）があると、行列が特異行列になり解が一意に求まらなくなったり、計算が破綻したりします。また、正則行列は行と列の数が一致する正方行列に限定される点も、長方形状の一般の行列と異なります。
注意点
理論上は正則行列であっても、数値計算においては行列式が極めてゼロに近い「悪条件行列」が存在します。このような行列に対して逆行列を直接計算すると、浮動小数点演算の丸め誤差によって解が大きく狂う危険性があります。そのため、機械学習の実装では正則化（L2正則化など）を導入して安定性を高めたり、逆行列の直接計算を避けて分解手法を用いる工夫が一般的に行われます。